Unique Rectangle

Das Unique Rectangle ist die einzige Grundtechnik, die sich auf eine Meta-Eigenschaft von Sudoku stützt statt direkt auf die Wiederholungsregel: Korrekt aufgesetzte Sudoku-Rätsel haben genau eine Lösung. Würde eine Kandidatenkonfiguration zwei Lösungen erzeugen, darf diese Konfiguration nicht zustande kommen — die Eindeutigkeit des Rätsels schließt die Pattsituation aus.

Das tödliche Muster

Vier Zellen an den Ecken eines Rechtecks, über zwei Zeilen, zwei Spalten und genau zwei Blöcke verteilt (nur zwei — das Rechteck muss auf ein 2×2-Block-Paar beschränkt sein). Alle vier Zellen haben dieselben zwei Kandidaten, etwa das Paar {3, 7}. Wären drei dieser Zellen „nackte Paare" mit exakt {3, 7} und die vierte ebenfalls {3, 7}, läge eine Konfiguration vor, in der sich 3 und 7 zwischen den Diagonalen des Rechtecks tauschen ließen — zwei gültige Lösungen. Sudoku erlaubt das nicht, also ist die Konfiguration verboten.

Die Technik nutzt die Pattsituation im Voraus. Das „tödliche Muster" taucht in einem echten Rätsel nie auf; was auftaucht, sind Konfigurationen einen Zug davor, in denen genau der Zug, der das tödliche Muster erzeugen würde, ausgeschlossen werden kann. Sechs Standard-Untertypen katalogisieren, wie dieses Ausschließen funktioniert, je nachdem, wo die zusätzlichen Kandidaten sitzen und was sie uns beweisen lassen.

Typ 1 — drei Ecken festgelegt

Die einfachste Form, und die, der die meisten Löser zuerst begegnen. Drei Ecken des Rechtecks haben nur {a, b} als Kandidaten; die vierte Ecke hat {a, b, X} — dasselbe Paar plus einen zusätzlichen Kandidaten X. Die vierte Zelle muss X sein. Wäre sie a oder b, schlösse sich das tödliche Rechteck, und die Eindeutigkeit des Rätsels verbietet es. Sobald du Typ 1 verinnerlicht hast, ist der Rest des Typkatalogs eine Variation davon, „was passiert, wenn die Extras anders verteilt sind".

Typ 2 — ein festgelegter Extra-Kandidat

Zwei Ecken auf derselben Kante des Rechtecks haben nur {a, b}. Die anderen zwei Ecken — die gegenüberliegende Kante — haben beide {a, b, c}, mit demselben zusätzlichen c in jeder. Mindestens eine dieser zwei Extras-Ecken muss c sein; sonst fallen beide auf {a, b}-Paare zurück und das tödliche Muster vollendet sich. Also kann c aus jeder Zelle eliminiert werden, die beide Extras-Ecken sieht — also aus jeder Zelle in ihrer geteilten Zeile, Spalte oder ihrem geteilten Block. Das ist die leiseste Form des UR: Die Eliminierung passiert gar nicht innerhalb des Rechtecks.

Typ 3 — nackte Untermenge im Rechteck

Gleiche Eröffnung: Zwei Ecken auf einer Kante sind {a, b}, zwei Ecken auf der anderen Kante tragen Extras. Diesmal hat jede Extras-Ecke einen anderen Extra — etwa {a, b, c} und {a, b, d}. Behandle die zwei Extras-Ecken so, als wären sie ein virtuelles Zellpaar mit {c, d}, und such in der Einheit, die sie mit anderen Zellen teilen, nach einer nackten Untermenge. Findest du Zellen, deren Kandidaten sich mit {c, d} zu einem nackten Paar, Drilling oder Quad kombinieren, feuert die Standard-Untermengen-Eliminierung im Rest dieser Einheit. Die Rolle des UR ist es, die Untermenge zu verankern — die zwei Extras-Ecken müssen zusammen {c, d} ergeben, was die Untermenge gültig macht.

Typ 4 — Strong Link auf der Extras-Kante

Zwei Ecken auf einer Kante sind {a, b}; die anderen zwei haben Extras beliebiger Art. Schau dir die Einheit an, die die zwei Extras-Ecken teilen — meist ihre Zeile oder ihre Spalte. Wenn eine von {a, b} — sagen wir a — in dieser Einheit nur an diesen zwei Extras-Ecken auftaucht (ein Strong Link auf a zwischen genau diesen zwei Zellen), dann muss a in einer von beiden platziert werden. Das wiederum heißt, dass b aus beiden Extras-Ecken eliminiert werden kann. Das Argument des tödlichen Musters macht hier die Arbeit eines Strong-Link-Arguments, das du sonst woanders gemacht hättest; es zwingt speziell b heraus, weil ein b in einer der Extras-Ecken das tödliche Rechteck wieder öffnen würde.

Typ 5 — Extras auf der Diagonale

Die zwei Ecken auf einer Diagonale — nicht benachbart — teilen sich einen Extra. Zwei diagonal gegenüberliegende Zellen lesen {a, b, c}; die anderen zwei lesen {a, b}. Mit der gleichen Logik wie bei Typ 2 muss mindestens eine der diagonalen Ecken c sein. Also kann c aus jeder Zelle eliminiert werden, die beide diagonalen Ecken sieht. Die sichtbare Reichweite ist meist enger als bei Typ 2 — diagonale Paare teilen weniger gemeinsame Nachbarn als Linienpaare —, aber wenn eine eliminierende Zelle existiert, ist der Zug entscheidend.

Typ 6 — X-Wing im Rechteck

Der exotischste der sechs, und der, der am häufigsten mit einem normalen versteckten X-Wing verwechselt wird. Innerhalb der zwei Zeilen und der zwei Spalten des Rechtecks gleichzeitig taucht eine von {a, b} — sagen wir a — nur an den vier Rechteck-Ecken auf. Das ist ein versteckter X-Wing auf a, beschränkt aufs Rechteck. Der X-Wing platziert a auf einer der zwei Diagonalen. Das Argument des tödlichen Musters schließt die Diagonale aus, die das Rechteck vollenden würde, und zwingt a auf die andere. Aus den zwei Zellen der tödlichen Diagonale kann a vollständig entfernt werden.

In der Praxis feuert Typ 6 selten, und auch starke Löser erkennen meist zuerst die einfacheren Typen. Wenn du ihn findest, taucht er meist spät in einem schweren oder schwereren Rätsel auf, in dem jeder konventionellere Zug schon ausgeschöpft ist.

Warum manche Löser sie umstritten finden

Das Unique Rectangle ist die Technik, die „die Eindeutigkeit des Rätsels gegen sich selbst verwendet". Manche Puristen wenden ein: Im Prinzip könnte ein Sudoku versehentlich fehlerhaft sein (mehrere Lösungen haben), und der Unique-Rectangle-Zug würde dann eine falsche Antwort liefern. In der Praxis ist jedes veröffentlichte Sudoku auf Eindeutigkeit geprüft, der Zug also sicher — und der Generator von Mt. Sudoku garantiert Eindeutigkeit. Aber die Technik sitzt konzeptionell eine Stufe über der Wiederholungsregel, und es gibt eine kleine Minderheit, die sie aus Prinzip ablehnt. Dieselbe Familie von Einwänden kommt auch beim BUG und BUG+1 vor, die sich auf dieselbe Weise auf die Eindeutigkeit stützen.

Wann du eines siehst

Unique Rectangles tauchen auf Experten- und Meister-Rätseln auf, wenn die Standardtechniken bereits gegriffen haben. Häufig sind sie nicht — die meisten Sackgassen lösen sich vorher durch einfachere Züge —, aber wenn sie auftauchen, bringen sie oft eine Setzung, die ein Y-Wing oder Swordfish nicht erreicht hätte. Typ 1 ist die Version, die am häufigsten auftaucht; Typ 4 und Typ 6 sind die seltensten.